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Matematica (scienze formali)

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La matematica è la disciplina e il relativo corpo di conoscenze che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi e strutture.

Considerata la regina delle scienze, fa uso di strumenti di analisi, logica, di calcolo e di modellazione.

Matematica (scienze formali)


Descrizione


La matematica è la disciplina che studia le quantità (teoria dei numeri), la struttura (algebra), lo spazio (geometria), e il cambiamento (analisi matematica).

Tale termine, che deriva dal greco, significa appunto conoscenza, studio, apprendimento, ed è considerata nelle scienze formali.

La matematica è essenziale in molti campi, tra cui scienze naturali, ingegneria, medicina, finanze e scienze sociali, quindi formali.

La matematica applicata ha portato a discipline matematiche nuove, come la statistica e la teoria dei giochi.

I matematici si impegnano nella matematica pura, fine a se stessa, mentre le applicazioni pratiche vengono spesso scoperte in seguito.

Matematica teorica e applicata


La matematica pura è costituita da aree che si occupano dei concetti completamente astratti.

Quella applicata si occupa dello studio delle tecniche matematiche usate nell’applicare le conoscenze matematiche ad altri campi scientifici e tecnici.

Generalizzazioni e astrazioni, quindi, possono condurre a visioni più approfondite dei problemi.

Essi stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti a obiettivi non collegati.

Divisione


La matematica può essere suddivisa in aritmetica, algebra, geometria e analisi.

Oltre a queste principali voci, ci sono anche suddivisioni che includono: logica, teoria degli insiemi, matematica applicata.

La matematica di base viene in genere insegnata nell’istruzione secondaria o nel primo anno di università.

Nelle scienze formali i campi includono: logica, matematica, statistica.

Gli argomenti principali della matematica comprendono: aritmetica, algebra, geometria, analisi.

Argomenti matematici principali


Aritmetica


E’ la branca della matematica che studia le proprietà elementari delle operazioni aritmetiche sui numeri, specialmente i numeri interi.

I calcoli più semplici si effettuano servendosi di numeri interi naturali, ma che richiedono il calcolo di numeri interi relativi e numeri razionali.

Algebra


Tratta lo studio di strutture algebriche, relazioni e quantità.

Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, che rappresentano le questioni geometriche più semplici e sono risolvibili con procedimenti standard.

L’algebra moderna studia anche le relazioni fra insiemi e strutture algebriche.

Geometria


Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente concetti primitivi: il punto, la retta, il piano.

Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono altri oggetti quali: segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.

Analisi


L’analisi matematica si occupa delle proprietà che emergono dalla scomposizione infinita di un oggetto denso.

Introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale.

Analizza i componenti delle funzioni che spesso non hanno una descrizione esplicita, ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.

Scienze formali: Settori e Discipline della matematica


Quantità


I numeri sono il primo elemento di studio sulle quantità con i numeri naturali tramite operazione aritmetiche su di essi.

La teoria dei numeri si occupa delle proprietà dei numeri interi, e contiene molti problemi aperti che possono essere compresi anche da chi non è un matematico.

I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali, dette frazioni.

Questi, a loro volta, sono contenuti all’interno dei numeri reali, che possono essere positivi, negativi o nulli, usati per rappresentare quantità continue.

I numeri reali sono generalizzati dai numeri complessi, usati in tutti i campi della matematica, della fisica e in ingegneria.

L’analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.

Strumenti


Gli strumenti principali, oltre all’aritmetica, all’algebra e all’analisi, comprendono: il calcolo vettoriale, tensoriale, equazioni differenziali, teoria dei sistemi, teoria del caos e funzioni matematiche.

Tra gli strumenti resi disponibili negli ultimi anni vi sono gli strumenti informatici, software volti all’esecuzione di calcoli, elaborazioni, grafici e visualizzazioni.

Gli oggetti matematici, e le loro proprietà strutturali, sono investigate nello studio di gruppi, anelli, campi e altri sistemi astratti, che sono a loro volta oggetti.

Lo studio dello spazio incomincia con la geometria. La trigonometria poi combina simultariamente spazio e numeri.

La matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell’informatica teorica.

La matematica applicata considera l’utilizzo di quella teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle scienze.

Gerarchia dei numeri


Numeri naturali


I numeri naturali, in matematica, sono quei numeri usati per contare e ordinare.

Essi corrispondono all’insieme: 0, 1, 2, 3, 4, … e vengono fatti corrispondere con una relazione binaria all’insieme dei numeri interi non negativi (0, +1, +2, +3, +4, …).

Talvolta vengono usati anche per indicare l’insieme dei numeri positivi (1, 2, 3, 4, …

Nel linguaggio comune i numeri cardinali, ossia numeri naturali utilizzati per indicare una grandezza di un insieme, sono quelli per contare.

I numeri ordinali, che si colloca naturalmente in un insieme omogeneo munito di una relazione d’ordine ampiamente riconosciuta come canonica, sono usati per ordinare.

Numeri interi


I numeri interi, o numeri relativi, corrispondono all’insieme ottenuto unendo i numeri naturali e i numeri negativi, cioè quelli ottenuti ponendo un segno “” davanti ai naturali.

I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati, e il risultato rimane un numero intero.

Numeri razionali


Un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi primi fra loro, il secondo dei quali diverso da 0.

Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione a/b, di cui è detto: a il numeratore e b il denominatore.

Numeri reali


I numeri reali possono essere descritti come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito.

Essi possono essere positivi, negati o nulli, e comprendono i numeri interi, i numeri razionali e i numeri irrazionali algebrici e trascendenti.

Numeri complessi


Un numero complesso è definito con i numeri reali e una soluzione dell’equazione detta unità immaginaria.

Essi sono usati in tutti i campi della matematica, della fisica e in ingegneria.

In matematica formano un campo e sono generalmente visualizzati come punti di un piano, detto piano complesso.

La proprietà più importante dei numeri complessi è basata sul teorema fondamentale dell’algebra.

Cardinali infiniti


I numeri cardinali infiniti, o transfiniti, sono numeri che sono infiniti, nel senso che sono più grandi di tutti i numeri finiti, ma non necessariamente assolutamente infiniti.

Questi includono: i cardinali transfiniti, che sono numeri cardinali che sono utilizzati per qualificare la dimensione degli insiemi infiniti, e gli ordinali transfiniti, che sono numeri ordinali utilizzati per fornire un ordinamento di insiemi infiniti.

Il termine transfinito si riferisce a cardinali e ordinali transfiniti come infiniti.

Cronologia e Definizione


Preistoria


La storia della matematica può essere vista come una serie crescente di astrazioni.

I popoli preistorici riconobbero come contare gli oggetti fisici, riconoscendo quindi come contare quantità astratte come il tempo, i giorni, le stagioni o anni.

Prime civiltà


Le prime civiltà ad usare la matematica più complessa furono i Babilonesi e gli egiziani, iniziando ad usare l’aritmetica, l’algebra e la geometria.

Le forme utilizzate servivano per la tassazione e calcoli finanziari, per l’edilizia e la costruzione e per l’astronomia.

E’ nella matematica babilonese che l’aritmetica (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) appare per la prima volta nella registrazione archeologica.

I babilonesi utilizzavano anche un sistema di valori di luogo, e usavano un sistema numerico sesagemico, noto anche come base 60, ancora in uso oggi per misurare angoli e tempo.

Greci


A partire dal VI secolo a.C., con i Pitagorici, gli antichi greci iniziarono uno studio sistematico della matematica come materia a se stessa.

Euclide, matematico greco, introdusse il metodo assiomatico, ancora oggi usato, costituito da definizione, assioma, teorema e dimostrazione.

Il più grande matematico storico antico, considerato inoltre uno dei principali scienziati dell’antichità classica, che sviluppò formule e metodi di calcolo, è Archimede.

Indù-Arabo


Le regole per l’uso delle operazioni, oggi in uso in tutto il mondo, è il sistema numerico indù-arabo, che si è evoluto in India nel corso del primo millennio d.C e trasmesso al mondo occidentale attraverso la matematica islamica.

Molti sviluppi della matematica indiana includono la definizione moderna e l’approssimazione del senso e del consenso, e una prima forma di serie infinita.

Islam


Durante l’età dell’oro dell’Islam, la matematica vide molte importanti innovazioni basate su quella greca.

Lo sviluppo dell’algebra fu il risultato più notevole della matematica islamica, oltre ai progressi della trigonometria sferica e l’aggiunta della virgola al sistema numerico arabo.

Periodo moderno


Durante il primo periodo moderno, la matematica ebbe un notevole sviluppo quanto rapido nell’Europa occidentale.

Nel XVII secolo, Newton e Leibniz rivoluzionarono la matematica con lo sviluppo del calcolo, cioè lo studio matematico del cambiamento continuo.

Il matematico più importante, nel XVIII secolo, fu Leonhard Euler, che contribuì a numerosi teoremi e scoperte.

Uno dei più importanti matematici, nel XIX secolo, è considerato Carl Friedrich Gauss, che contribuì notevolmente a campi come l’algebra, analisi, geometria differenziale, teoria delle matrici, teoria dei numeri e statistica.

All’inizio del XX secolo, Kurt Godel, logico e matematico tedesco-austriaco, trasformò la matematica con i suoi teoremi di incompletezza.

Egli dimostrò in parte che qualsiasi sistema assiomatico coerente conterrà vere proposizioni che non possono essere dimostrate.

Scoperte matematiche


L’interazione tra matematica e scienza, da cui si è notevolmente estesa portando a entrambi benefici, oggi continuano nelle scoperte matematiche.

In questo oceano di grandi lavori e scoperte, nella stragrande maggioranza contenuta nella matematica e nella scienza, contiene nuovi teoremi matematici e le loro dimostrazioni.

Molti matematici ritengono che chiamarla scienza sia solo un modo per minimizzare l’importanza del suo lato estetico.

Altri ritengono invece che l’interfaccia tra la matematica, scienze formali e le sue applicazioni nella scienza e nell’ingegneria, come connessione nelle scienze, ha guidato lo sviluppo in matematica.

Questo diverso pensiero, o punto di vista, si svolge nel dibattito filosofico: se la matematica sia creata (come l’arte) o scoperta (come la scienza).

Questa è una delle tante questioni considerate nella filosofia della matematica.

Voci correlate


Collegamenti esterni



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